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Sommaire Introduction Taille d’une matrice L’addition de matrices La multiplication de matrices Autres propriétés Puissance de matrices binôme de Newton Matrices nilpotentes La transposée La matrice inverse Matrice et système linéaire Trace d’une matrice Exercices Introduction Ce chapitre va traiter d’un domaine très important les matrices ! Ce chapitre sera traité sous l’angle post-bac, donc si tu es en Terminale, certaines notions ci-dessous ne te seront pas utiles si ce n’est pour ta culture personnelle. Ne t’inquiète pas, les choses que tu dois savoir faire en Terminale te seront précisées Si en revanche tu es en études post-bac, tout ce qui suit doit être absolument su ! Les matrices se retrouvent en effet dans de nombreux autres chapitres espaces vectoriels, polynômes etc…. Ce chapitre constitue la base des matrices, mais d’autres chapitres traiteront également des matrice sous un autre angle diagonalisation, calcul de déterminant etc…. Taille d’une matrice Tout d’abord, qu’est-ce qu’une matrice ? Une matrice est en fait un tableau, par exemple ce qui suit est une matrice Cette matrice est composée de lignes et de colonnes, ici on a 2 lignes et 3 colonnes. On dit alors que c’est une matrice 2 x 3 cela correspond à la taille de la matrice, on parle aussi de dimension de la matrice. — Quand on parle de la taille d’une matrice, le premier chiffre correspond toujours au nombre de lignes et le deuxième au nombre de colonnes. Il en va de même pour les coefficients voir ci-dessous — L’ensemble des matrices est noté , où est un corps souvent ou Cela correspond donc aux matrices de n lignes et p colonnes. Et tous les coefficients de la matrice appartiennent au corps Ainsi la matrice de l’exemple ci-dessus appartient à Remarque dans tout le chapitre on prendra pour plus de simplicité mais cela ne change absolument rien aux propriétés. Quand le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes, on dit que la matrice est carrée. Pour le notation, on n’écrit pas deux fois le même chiffre mais une seule fois puisqu’il s’agit du même ainsi on n’écrira pas mais , on n’écrira pas mais etc… On parle alors de matrice de dimension 3 si elle appartient à par exemple. De plus une matrice est souvent notée par une lettre majuscule, par exemple Les coefficients se notent avec la même lettre mais en minuscule, avec en indice le numéro de la ligne et de la colonne correspondante évidemment la ligne en premier et la colonne en second. Ainsi, a1,3 correspond au coefficient de la matrice A de la 1ère ligne et de la 3ème colonne, qui correspond ici à 4, donc a1,3 = 4. De même, a1,2 = 5, a2,1 = 7, a2,2 = – 6 etc… Pour une matrice carrée de dimension 3 cas que l’on retrouve souvent dans les exercices, cela donne Si la matrice s’était appelée B, on aurait notée b1,1, b2,3, b2,2… Deux cas particuliers les matrices lignes et les matrices colonnes. Une matrice ligne est une matrice composée d’une seule ligne, et une matrice colonne… d’une seule colonne ! Matrice colonne Matrice ligne Maintenant que l’on a vu comment noter des matrices, nous allons pouvoir commencer à faire des opérations sur les matrices. Opérations sur les matrices addition et soustraction Haut de page On peut en effet additionner, soustraire et multiplier des matrices sous certaines conditions. En revanche, on ne divise jamais des matrices !!! Ainsi si on a deux matrices A et B, faire A/B ne veut rien dire ! C’est presque aussi grave d’écrire ça que de diviser par 0… Nous verrons en revanche plus loin que la matrice A-1 a une signification… Pour faire des opérations sur des matrices, il y a en revanche certaines conditions. — Pour pouvoir additionner ou soustraire 2 matrices, il faut qu’elles soient de même dimension ! — Ainsi si l’on a on peut les additionner ou les soustraire car elles sont toutes les deux de dimension 2 x 3. Pour se faire c’est très simple, on additionne ou on soustrait terme à terme Idem pour la soustraction — Remarque on ne peut donc pas additionner un nombre avec une matrice A + 3 ne veut rien dire. Par contre nous verrons plus loin que l’on peut multiplier un nombre avec une matrice. — Cas particulier la matrice nulle. — La matrice nulle est une matrice composée uniquement de 0 ! — En fait il existe plusieurs matrices nulles puisqu’elle peut être de taille différente. Ainsi la matrice nulle de dimension 2 x 3 est Souvent, une telle matrice est notée avec un grand zéro, ou encore mieux O2,3 pour préciser que c’est la matrice nulle avec 2 lignes et 3 colonnes. Dans la plupart des exercices on utilise des matrices carrées. On ne mettra alors qu’une seul chiffre Ce qu’il faut savoir, c’est que quand on additionne ou soustrait une matrice avec la matrice nulle, cela ne change rien, exactement comme quand on fait + 0 ou – 0 avec un nombre ! Prenons par exemple une matrice A carrée de dimension 3. Alors A + O3 = A et A – O3 = A Ce qui est totalement logique puisque l’on ajoute ou on soustrait 0 à chaque coefficient de la matrice A, ce qui ne change pas ses coefficients. On dit que la matrice nulle est l’élément neutre des matrices pour l’addition. Opérations sur les matrices multiplication Haut de page Pour multiplier en revanche, c’est un peu plus complexe. Saches tout d’abord que la multiplication de matrices n’est pas commutative. Cela signifie que A x B et B x A ne donne pas forcément le même résultat ! Si c’est le cas, on dit que A et B sont commutatives. — Si A x B = B x A, on dit que A et B sont commutatives. — Mais encore faut-il que A x B existe… en effet, pour que A x B existe, il faut que le nombre de colonnes de la matrice de gauche soit égal au nombre de lignes de la matrice de droite ! Par exemple si A , on peut faire A x B uniquement si p = q, sinon c’est impossible ! Et le résultat sera une matrice appartenant à… En fait c’est un peu comme le théorème de Chasles les lettres du milieu, identiques, disparaissent et il ne reste plus que les deux autres lettres. Ici, n,p x p,r = n,r attention cette notation n’est pas du tout bonne mathématiquement, c’est juste pour t’expliquer le fonctionnement. Ainsi, si , on peut faire A x B et le résultat sera une matrice appartenant à En revanche, on ne peut PAS faire B x A car , et 7 et 4 ne sont pas égaux… — On peut donc très bien avoir A x B qui existe et B x A qui n’existe pas. — Dans le cas particulier de matrices carrées de même dimension, on pourra toujours faire A x B et B x A, et le résultat sera une matrice carrée de même dimension. Par exemple si , on peut faire A x B et B x A, et le résultat sera une matrice carrée de mais A x B ne sera pas forcément égal à B x A. Mais d’où vient cette règle que le nombre de colonnes de gauche doit être égal au nombre de lignes de droite ? Cela vient tout simplement de la manière de calculer la matrice résultante. Imaginons que l’on note C la matrice A x B C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne. Prenons par exemple deux matrices A et B et calculons A x B Par souci d’efficacité, on met souvent la matrice de droite au-dessus du résultat. Ainsi le coefficient de la matrice C se calcule avec la ligne et la colonne correspondante Ainsi Chaque coefficient a été calculé à partir de la ligne située à sa gauche et de la colonne située au-dessus. Le 10 a été calculé en faisant 3 x 1 + 1 x 7. Le 23 a été calculé en faisant 3 x 5 + 1 x 8 Le 30 a été calculé en faisant 2 x 1 + 4 x 7 Le 42 a été calculé en faisant 2 x 5 + 4 x 8. Pour t’aider à comprendre, regarde cet exercice sur la multiplication de matrices. On voit donc assez facilement que la ligne de la matrice de gauche doit avoir autant de coefficients que la colonne de la matrice de droite, d’où la règle énoncée ci-dessus L’intérêt de cette méthode est qu’elle limite le nombre d’erreurs, mais il faut prendre plus de place sur la copie^^ Dans la suite nous n’utiliserons pas cette écriture par souci d’économie de place et puis pour t’habituer à faire les calculs Prenons un autre exemple en détaillant les calculs donc A x B existe et le résultat sera une matrice 2 x 2. Plus tu t’entraîneras, plus cela te paraîtra facile ! il ne s’agit ici que de calcul, ce sont des points gagnés facilement dans un contrôle !. De manière générale, on a dit que le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On peut donc en déduire la formule suivante Dans cette formule, n est le nombre de colonnes de A, et de lignes de B car il y a autant de colonnes dans A que de lignes dans B comme vu précédemment. Nous parlerons en détails de cette formule dans les exercices. Seule remarque à faire sur cette formule pour la retenir facilement, tu remarqueras que là encore il y a une sorte de formule de Chasles, car on calcule et on a dans la somme {i,j} donne {i,k} {k,j}, c’est un bon moyen mnémotechnique pour se souvenir de la formule Par ailleurs, de la même manière que la matrice nulle est l’élément neutre pour l’addition, il existe un élément neutre pour la multiplication la matrice identité. Cette matrice est nécessairement carrée contrairement à la matrice nulle et possède uniquement des 1 sur sa diagonale, les autres coefficients étant 0. Cette matrice est notée Id, ou I, ou I suivie du chiffre correspondant à sa dimension. Ainsi — Remarque importante quand on parle de la diagonale d’une matrice, on parle toujours de celle qui part du haut à gauche et qui arrive en bas à droite, pas de celle qui va du bas à gauche au haut à droite. — En fait, la matrice identité est un cas particulier des matrices dites diagonales, qui sont des matrices qui ont des chiffres quelconques sur la diagonale mais des 0 ailleurs ! Ainsi, les matrices suivantes sont des matrices diagonales — Remarque la matrice nulle et la matrice identité sont des matrices diagonales particulières ! Dans tous les cas, une matrice diagonale est forcément carrée une matrice non carrée n’a pas vraiment de diagonale…. De plus, les coefficients diagonaux peuvent être nuls la matrice suivante est une matrice diagonale — Oui mais quel lien avec la multiplication ?? On y vient ! Multiplier une matrice par I, c’est comme multiplie un nombre par 1, ça ne change rien ! Ainsi si l’on a une matrice A, A x Id = A et Id x A = A en supposant que ces produits existent. — D’après la formule précédente, cela signifie que la matrice identité est commutative avec n’importe quelle matrice A. On se servira parfois de cette propriété dans les exercices. — Comme tu le vois ce n’est pas trop compliqué Mais ce n’est pas fini ! Deux choses encore concernant la multiplication avant de passer à la suite. Tout d’abord, saches que si l’on ne peut pas additionner un nombre avec une matrice comme vu ci-dessus, on peut multiplier un nombre par une matrice. Le résultat est tout simplement une matrice de même dimension, mais tous ses coefficients sont multipliés par le nombre Prenons De même avec un nombre négatif Mais si on peut multiplier, on peut aussi… factoriser ! De la même manière, on peut factoriser les matrices 3A6 – 6A3 + 7A2 = A3A5 – 6A2 + 7A Ici on a factorisé à gauche, mais on peut très bien factoriser à droite 3A6 – 6A3 + 7A2 = 3A5 – 6A2 + 7AA Attention cependant, cela n’est pas toujours possible de factoriser à gauche et à droite AB + AC = AB + C MAIS AB + AC ≠ B + CA. En effet, B + CA = BA + CA, ce qui n’est pas égal à AB + AC car, on le rappelle, la multiplication n’est pas commutative… Par contre il y a un autre piège beaucoup plus important dans lequel tombent de nombreux élèves !! Imaginons que l’on veuille factoriser 3A6 – 6A3 + 7A. La plupart des élèves écrivent 3A6 – 6A3 + 7A = A3A5 – 6A2 + 7 et là c’est faux car on additionne des matrices avec un chiffre !! La bonne réponse est 3A6 – 6A3 + 7A = A3A5 – 6A2 + 7Id, et là c’est bon car 7Id est une matrice — Retiens donc que quand tu factorises par une matrice, le résultat ne peut pas être un chiffre seul, ce chiffre doit être multiplié par Id … + kA = A… + kId avec k réel ou complexe — Et pour clôturer cette partie sur les multiplications un piège à éviter. Si l’on a deux matrice A et B et que l’on a A x B = O ou B x A = O, cela ne signifie pas que A ou B = O !! Cette règle qui est vraie pour les réels ne l’est pas pour les matrices… Prenons un exemple On a donc A x B = O et pourtant ni A ni B ne correspond à la matrice nulle… — ATTENTION !! Si A x B = O ou B x A = O matrice nulle, cela ne veut pas dire que A ou B est la matrice nulle… — La partie sur les multiplications n’est pas terminée et non… mais nous allons y revenir dans les parties qui suivent. Autres propriétés Haut de page Il y a d’autres propriétés concernant les opérations sur les matrices mais qui ne nécessitent pas beaucoup d’explications donc nous allons juste les donner avec leur nom afin de se concentrer sur l’essentiel car le chapitre est dense !! Associativité quand on multiplie des matrices entre elles, on peut mettre des parenthèses où l’on veut Pour calculer ABC, on peut ainsi d’abord calculer A x B puis multiplier par C, ou d’abord calculer BC puis multiplier par A. Idem si on multiplie 4, 5, 6, 7 matrices ou plus ensemble. Linéarité à gauche et à droite si on a deux réels λ et β Puissance de matrices binôme de Newton Haut de page Dans cette partie toutes les matrices seront des matrices carrées, afin qu’on puisse les multiplier entre elles. En effet, nous allons parler de puissances de matrices, c’est-à-dire An, avec n entier naturel si A est une matrice carrée on peut bien la multiplier par elle-même. — Remarque dans toute cette partie sur les puissances, la puissance sera forcément positive, ce pourquoi on a précisé n entier naturel et non pas entier relatif. — On a les propriétés suivantes La deuxième formule est assez évidente. La première formule correspond, dans les réels, à x0 = 1. Or on a vu que l’équivalent de 1 pour les matrices est la matrice identité. Ainsi on a A0 = Id. Par ailleurs, on a An = A x A x A x A x A x A x A x …. n fois la matrice A Donc An+1 = A x A x A x A x A x A x A x …. n + 1 fois la matrice A Par associativité, on a donc Cela démontre que A est commutatif avec toute puissance de A. On peut le montrer par récurrence entraîne-toi à la faire en utilisant le fait que A est commutatif avec lui-même. On utilisera souvent le fait que An+1 = A x An = An x A dans les récurrences on remplacera An+1 par A x An ou An x A selon l’exercice. Bon c’est bien joli tout ça, mais comment calcule-t-on An quand on connaît A ? Et bien… on ne peut pas le calculer directement ! En effet, prenons l’exemple suivant Et oui, sinon ce serait trop simple… En revanche, il y a un cas particulier que l’on retrouve souvent et qui est simple les matrices diagonales. — Si A est une matrice diagonale, An sera également une matrice diagonale, tous ses coefficients étant mis à la puissance n. Exemple — Comme tu le vois c’est très simple, mais cela ne marche que pour les matrices diagonales!! Remarque la matrice Id est une matrice diagonale dont tous les coefficients valent 1, et comme 1n = 1, on a pour tout entier naturel n Dans les exercices où on demande de calculer la puissance d’une matrice, une des méthodes est de décomposer celle-ci en faisant apparaître une matrice diagonale, puis utiliser la formule du binôme de Newton pou les matrices. Le binôme de Newton pour les matrices ?? Hé oui, ça existe ! Mais attention !!! Car il y a un gros piège dans lequel de nombreux élèves tombent… La formule du binôme de Newton est en réalité la même que pour les réels mais avec une condition très importante il faut que les matrices soient commutatives !!!! Ainsi si on veut appliquer la formule du binôme de Newton pour calculer A + Bn, il faut d’abord montrer que A et B commutent, c’est-à-dire que AB = BA. Pour ce faire rien de plus simple, on calcule AB, puis on calcule séparément BA, et on voit qu’on trouve la même chose Et seulement après avoir montré que les matrices commutent, on peut appliquer la formule uniquement si A et B sont commutatives ! Comme tu le vois on retrouve exactement la même formule que pour les réels. Mais pourquoi donc A et B doivent-ils être commutatives ? Nous allons le montrer sur un exemple simple A + B2 A + B2 = A + BA + B A + B2 = A2 + AB + BA + B2 Et là, si A et B ne commutent pas, on ne peut rien faire de plus !! En revanche, si A et B commutent, on peut remplacer BA par AB, d’où A + B2 = A2 + AB + AB + B2 A + B2 = A2 + 2AB + B2 On retrouve la formule de l’identité remarquable ! Qui correspond à la formule du binôme de Newton pour n = 2. Tu peux t’entraîner en calculant A + B3 de deux manières différentes avec la formule, et en faisant A + BA + BA + B tu verras que les deux formules sont égales uniquement si A et B commutent. — Retiens bien que pour appliquer la formule du binôme de Newton pour les matrices, il faut d’abord démontrer que A et B commutent. Sinon tu auras des points en moins… — Matrices nilpotentes Haut de page Il y a certaines matrices qui sont qualifiées de nilpotentes. De telles matrices sont nulles à partir d’une certaine puissance, c’est-à-dire qu’il existe un entier naturel k tel que Ak = O la matrice nulle, par zéro. Exemple On va calculer les puissance successives de A entraîne-toi à faire le calcul tout seul On remarque que A3 = O3 la matrice nulle de dimension 3. On pourrait ensuite calcul A4, A5, A6 etc… mais à chaque fois on retrouvera O3 ! En effet A4 = A3 x A = O3 x A = O3 A5 = A3 x A2 = O3 x A2 = O3 A6 = A3 x A3 = O3 x A3 = O3 etc… De manière générale Ak = A3 x Ak-3 = O3 x Ak-3 = O3 Mais attention !! La puissance de A doit être positive, donc k – 3 ≥ 0, donc k ≥ 3. Donc Ak = O3 pour tout k ≥ 3, ce qui normal car A3 = O3 mais A et A2 ne sont pas nulles. Comme A3 = O3 mais A2 ≠ O2, 3 est appelé l’indice de nilpotence, car c’est à partir de k = 3 et pas avant dans cet exemple que Ak = O3. — Une matrice A est dite nilpotente s’il existe un entier naturel n tel que An = O. Dans ce cas, Ak = O pour tout k ≥ n. L’indice de nilpotence est le plus petit entier p à partir duquel Ap = O Ap = O et Ap-1 ≠ O — Nous verrons que l’on retrouve souvent des matrices nilpotentes dans les exercices de calcul de puissances de matrices avec le binôme de Newton. La transposée Haut de page La transposé d’une matrice A, notée tA, est une matrice où les lignes de A se transforment en colonnes et les colonnes de A se transforment en ligne. Ainsi la 1ère ligne de A devient la 1ère colonne de tA la 2ème ligne de A devient la 2ème colonne de tA la 3ème ligne de A devient la 3ème colonne de tA etc… Remarque on peut parfois trouver la notation At mais elle ne sera pas utilisée dans la suite, nous noterons toujours tA. Prenons un exemple Alors Comme tu le vois, rien de compliqué Pour une matrice carrée, comme dans l’exemple ci-dessus, la dimension reste la même. Mais pour une matrice non carrée ? Et bien la taille de la matrice change puisque les lignes deviennent des colonnes et réciproquement ainsi le nombre de lignes devient le nombre de colonnes et réciproquement. Donc si A est de dimension 4 x 9, tA sera de dimension 9 x 4. Prenons un exemple A est une matrice de dimension 2 x 3, donc tA est de dimension 3 x 2 Là encore rien de compliqué, la première ligne devient la première colonne etc… Ainsi chaque terme ai,j de la matrice devient aj,i. Par exemple Le calcul de la matrice transposée est donc simple, mais ce qui est important ce sont les propriétés de la transposée. Tout d’abord, quelques formules La première formule paraît assez évidente, la transposée de la transposée d’une matrice est… elle-même, puisque par la 1ère devient la 1ère colonne, puis redevient la 1ère ligne. La deuxième formule en revanche est beaucoup plus piégeuse. En effet, on aurait tendance à dire tAB = tAtB, mais c’est faux !! En effet, on le voit assez facilement avec les dimensions. Si on fait tAB, cela veut dire que AB existe. On suppose donc que A et B sont de dimension respectives m x n et n x p. AB est donc de dimension m x p, et donc tAB de dimension p x m. Or tA est de dimension n x m et tB de dimension p x n, donc tAtB n’existe pas !! sauf si m = p En revanche tBtA existe et est de dimension p x m car tB est de dimension p x n et tA de dimension n x m Ainsi tAB et tBtA sont bien tous les deux des matrices de même dimension. Autre propriété de la transposée, ou plutôt définition Une matrice carrée est dite symétrique si Une matrice carrée est dite antisymétrique si Par exemple Alors On a tA = A donc A est une matrice symétrique. Autre exemple Alors On a tA = -A donc A est une matrice antisymétrique. — Remarque pour une matrice symétrique, peu importe les coefficients de la diagonale car ils restent sur la diagonale, et ils sont égaux à eux mêmes. En revanche, pour une matrice antisymétrique, il faut que les coefficients diagonaux soient nuls, car 0 et le seul nombre égal à moins lui-même. Autre remarque la symétrie ou l’antisymétrie ne concerne que les matrices carrées là encore on le voit bien avec les dimensions une matrice non carrée ne peut pas être égale à sa transposée puisqu’elle n’aurait même pas la même dimension. — La matrice inverse Haut de page La matrice inverse, qu’est-ce que c’est ? C’est une matrice qui se calcule à partir d’une autre matrice. Mais la matrice inverse n’existe pas tout le temps ! Imaginons que l’on ait une matrice A. Si la matrice inverse de A existe, on dit que A est inversible et sa matrice inverse est notée A-1. — Pour les réels, x-1 signifie 1/x. Ainsi 2-1 = 1/2 Mais pour les matrices, A-1 ne signifie pas 1/A !! On a vu en effet qu’on ne peut pas diviser des matrices… En revanche, nous verrons plus loin que cette notation A-1 n’est pas anodine et est liée à ce que l’on vient de dire… — Tu dois sûrement te demander comment sait-on si une matrice est inversible ou non ?? Et bien c’est simple — Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul A est inversible ⇔ DetA ≠ 0 — Oui mais comment calculer le déterminant d’une matrice ?? Cela fait l’objet d’un chapitre à part car le calcul d’un déterminant ne s’explique pas en 2 lignes… Si A-1 existe, on a alors une ou plutôt deux formules fondamentales — Ainsi A x A-1 = A-1 x A = Id A et A-1 sont toujours commutatifs. — — Autre propriété importante si A-1 existe, A-1 est unique ! — Ainsi si A est inversible, sa matrice inverse est unique c’est pourquoi on dit SA matrice inverse et non pas une de ses matrices inverses… Quelle est l’intérêt de cette propriété ? Et bien cela signifie que si on arrive à trouver une matrice B telle que A x B = Id, et bien B = A-1, et on sait au passage que A est inversible si on ne l’avait pas déjà démontré auparavant en calculant le déterminant par exemple. Evidemment si on a B x A = I on a la même propriété. On peut donc énoncer la propriété générale suivante — A est inversible ⇔ il existe B tel que A x B = B x A = I et B = A-1 — Voyons un exemple d’utilisation de cette technique exemple que l’on voit en Terminale en spé Maths notamment On a 3A5 – 6A3 + 7A = Id. Question montrer que A est inversible et déterminer son inverse. On factorise par A A x 3A4 – 6A2 + 7Id = Id On a donc bien une matrice B telle que A x B = Id, donc A est inversible et A-1 = 3A4 – 6A2 + 7Id. La matrice inverse sert également à isoler une matrice dans une équation. Imaginons que l’on ait A x B = C et que l’on sache que A est inversible. On demande d’isoler B. Evidemment on ne fait pas B = A/C, car on a dit qu’on ne divisait pas des matrices… Alors que faire ? Et bien c’est tout simple, on multiplie par A-1 de part et d’autre de l’égalité on a supposé A inversible donc A-1 existe, sinon il aurait d’abord fallu démontrer que A était inversible. A x B = C A-1 x A x B = A-1 x C Id x B = A-1 x C car A-1 x A = Id B = A-1 x C car Id x B = B Et voilà, on a réussi à isoler B — Une remarque importante cependant le A-1 doit nécessairement se trouver à côté du A pour pouvoir donner l’identité. Comme on a A x B, il faut donc multiplier A GAUCHE par A-1, car si on avait multiplié à droite, cela aurait donné A x B x A-1 et on aurait rien pu faire d’autre car, on le rappelle, les matrice ne sont pas commutatives… Ainsi, pour les matrices, il faut faire la distinction entre multiplier à gauche ou à droite, alors que pour les réels ou les complexes par exemple cela n’a pas d’importance. De plus, comme on a multiplié par A-1 à gauche dans la partie gauche de l’équation, il faut faire de même dans la partie droite de l’égalité. Ainsi, si A x B = C, on ne peut PAS dire A-1 x A x B = C x A-1, mais plutôt A-1 x C. — Les multiplications pour les matrices sont donc source de nombreuses erreurs possibles, donc fais bien attention quand tu multiplies des matrices ! Autre remarque importante l’exemple précédent permet de comprendre la notation A-1 pour la matrice inverse. En effet, imaginons que l’on ait un x réel avec l’équation 4x = 5, et on cherche à isoler x. Au collège on apprend qu’il faut multiplier par 1/4 de part et d’autre Or 1/4 = 4-1 pour passer le 4 de l’autre côté, on multiplie par son inverse qui est 1/4, soit 4-1. Et bien c’est exactement la même chose pour les matrices, comme on l’a fait dans l’exemple ci-dessus, pour passer A de l’autre côté on multiplie par A-1. Tout simplement parce que A-1 x A = Id et que 4-1 x 4 = 1 l’identité est l’équivalent du 1 pour les réels l’élément neutre pour la multiplication L’équation précédente peut en effet s’écrire On retrouve exactement la même équation que pour les matrices avec 4 qui correspond à A, x à B et 5 à C. Ainsi, de la même manière que multiplier par 4-1 revient à diviser par 4, multiplier par A-1 revient à diviser par A, sauf que pour les matrices on ne divise jamais par une matrice, on multiplie par son inverse Toute cette remarque concernant la notation A-1 n’est pas à savoir à strictement parler, c’est juste pour que tu comprennes la notation et que tu penses bien à multiplier par A-1 si tu veux faire passer une matrice de l’autre côté de l’égalité, mais surtout ne pas diviser par une matrice !! Matrice et système linéaire Haut de page Une application classique de la matrice inverse est la résolution de systèmes linéaires. Prenons le système linéaire suivant Ce système peut s’écrire sous forme de matrice en posant Résoudre le système revient à chercher x, y et z donc le vecteur colonne X. Pour l’isoler, on multiplie par A-1 comme on a vu ci-dessus AX = B A-1AX = A-1B X = A-1B Et voilà il ne reste plus qu’à calculer A-1B et on a X, c’est-à-dire x, y et z ! Et comme A-1 est unique, X est unique il y a une unique solution ! Bien sûr il faut pour cela que A-1 existe, donc que A soit inversible. Si ce n’est pas le cas, il y a soit une infinité de solutions, soit aucune solution. — Quand on résout un système linéaire avec une matrice A telle que AX = B Si A est inversible il y a une unique solution. Si A n’est pas inversible, il y a soit une unique solution, soit aucune solution. — Il faut cependant faire attention à bien poser la matrice A ! Pour cela, il faut bien disposer le système, c’est-à-dire mettre toutes les inconnues d’un côté et toutes les constantes de l’autre. De plus, il faut garder le même ordre pour les variables x, y, z par exemple pour chaque ligne! Imaginons que l’on ait le système suivant Ici rien ne va ! – dans la première ligne, la constante -9 est à gauche, et la variable 2y à droite. – dans la deuxième ligne -6 est à gauche et 4x à droite – dans la troisième ligne les variables x, y et z ne sont pas dans l’ordre. On transforme donc le système en mettant les variables x, y et z dans cet ordre On pourrait penser que maintenant c’est bon… mais il reste encore un détail ! Dans la 2ème ligne, il n’y a pas de y… il est donc conseillé de mettre + 0y afin que les variables x, y et z soient alignées verticalement sur chaque ligne, cela permet de trouver la matrice A plus facilement Maintenant c’est bon ! On pose donc On résout alors comme vu précédemment. Trace d’une matrice Haut de page La trace d’une matrice, c’est tout simplement la somme de ses coefficients diagonaux, c’est-à-dire les ai,i. La trace d’une matrice A est notée TrA. Evidemment comme on parle de diagonale il faut que la matrice soit carrée une matrice non carrée n’a pas de diagonale. On a alors la formule pour une matrice A carrée de dimension n Exemple Comme tu le vois c’est très simple ! Remarque on a en particulier TrId = n, puisque Id est composée uniquement de 1 sur sa diagonale. Oui mais… à quoi ça sert ?? Nous verrons cela dans les autres chapitres sur les matrices, notamment la diagonalisation. Pour l’instant retiens juste les formules liées à la trace d’une matrice pour k réel Certaines se démontrent très facilement tu peux t’amuser à le faire ! . Exercices Haut de page Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices ! Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page Ils espèrent sur l’aide des autorités pour fournir quotidiennement la capitale de poissons frais, toute chose qui leur permettra de vivre décemment de leur activité La pisciculture en cage flottante implique l’élevage des poissons dans une enceinte, à travers laquelle est maintenue une libre circulation d’eau. Les principaux avantages de ce système résident dans l’adaptabilité de la structure et l’utilisation directe de l’eau du milieu naturel. La participation du ministre de la Promotion de la Femme, de l’enfant et de la famille, en novembre 2017, à la récolte des tilapias élevés dans les cages flottantes par une association de femmes de Dougoulakoro, est un message fort pour attirer les pisciculteurs vers cette forme d’élevage des poissons. Notre équipe de reportage a rencontré des pêcheurs qui pratiquent cette activité au Bozobougouni de Missabougou, sur les berges du fleuve Djoliba. Dans sa concession située à quelques pas du fleuve, Sidi Traoré nous a accueillis. Très jovial, ce quadragénaire exerce la pisciculture en cage flottante depuis trois ans. Une activité qu’il a connue grâce à des coopérants américains. Ils nous ont donnés des alevins et de l’aliment poisson. La première récolte a été un succès. Cependant, en rentrant dans leur pays, ils nous ont promis de revenir pour nous appuyer davantage», a dit M. Traoré, avant d’ajouter que lui et ses collègues les attendent avec impatience. Grâce à cette réussite, ce groupe de pisciculteurs bénéficiera au mois de novembre d’un autre projet de réalisation de dix cages flottantes. A en croire Sidi Traoré, toutes sortes de poissons peuvent être élevés dans ce réservoir. A six mois d’élevage, certains poissons peuvent atteindre 1 kg et demi, a précisé notre homme. Pour réussir ce type d’élevage, il faut régulièrement contrôler la cage. Selon Sidi, il y a d’autres poissons dans le fleuve qui détruisent les filets au-dessous. Le gouvernement nous a offert une cage flottante que nous avons entretenue jusqu’à la moisson », s’est-il réjoui, avant de dénoncer le favoritisme de certains responsables. Quand ils apportent des cages flottantes, ils les offrent aux personnes qui leur sont familières», a regretté notre interlocuteur. Pour lui, cette forme de pisciculture permettra de faire face efficacement à la pénurie de poissons capturés dans le fleuve, si le gouvernement s’y investit davantage. En outre, les ressources halieutiques auront le temps de se multiplier si les pêcheurs se concentraient sur la pisciculture. L’achat du poisson ne sera pas un luxe pour les Maliens, a affirmé Sidi, invitant les jeunes à se lancer dans ce genre d’activités afin que les autorités leur apportent leur soutien. Mory Kéita fait partie des pêcheurs dont les concessions ont été détruites par les cours d’eau cette année. Le jeune homme de 26 ans vit aujourd’hui dans une hutte faite de paille. Il possède des cages flottantes au milieu du fleuve. Il nous explique ses différentes expériences Ma première cage a été confectionnée avec des bidons de 20 litres. Sa surface avoisinait 3 mètres carrés. Après, j’ai fait une autre avec un plastique très dur qui ressemble à la chambre à air, dont la dimension était de trois mètres sur deux avec une profondeur d’un mètre cinquante. Trois ans plus tard, j’ai obtenu le soutien de l’Agence pour la promotion de l’emploi des jeunes APEJ qui m’a permis de fabriquer un bassin métallique flottant d’une surface de six mètres carrés». Pour réaliser ce dernier rêve, le jeune homme qui est non moins livreur de pains, a puisé dans ses propres fonds pour achever la construction de sa cage et acheter des alevins. Mory Kéita, aussi bien qu’un grand nombre de pêcheurs pisciculteurs, pêche des poissons au filet pour les mettre dans leurs cages. Concernant la différence entre ceux-ci et les alevins qu’ils achètent, le jeune Kéita soutient que les derniers grandissent plus vite. Comme dans la plupart des cages flottantes, il a installé un panneau solaire pour que les insectes attirés par la lumière servent de nourriture pour ses poissons quand ils tombent. Très ingénieux, notre jeune pisciculteur concocte d’autres astuces plus utiles qu’il compte mettre en œuvre pour améliorer son système de pisciculture. A propos de cela, M. Kéita nous a confié qu’il a l’intention de faire, avec ses moyens de bord, un poulailler au-dessus de sa cage flottante. Fort convaincu de la productivité de la pisciculture, qui requiert un grand investissement, notre jeune entrepreneur s’en sort bien. Il a pu s’acheter une moto. Pour lui, ce business ne sera plus avantageux que lorsqu’il arrivera à construire d’autres cages. Je pourrais alors vendre mes poissons chaque mois et gagner de l’argent mensuellement comme un fonctionnaire», souhaite-t-il. Mohamed D. DIAWARA L’Essor Examinez les chevaux en partant de la première rangée numérotés de 1 à 9. Choisissez un cheval répondant à TOUS les critères suivants ses 3 dernières performances ont eu lieu à Vincennes, il a remporté sa dernière course attelée avec une cote inférieure à 5/1. Sommaire1 Comment jouer au PMU au tabac ?2 Comment se joue le quinté ?3 Comment jouer le Quarté ?4 Comment gagner au PMU avec le carré magique ? © Le principe de base est simple choisir 3 à 5 chevaux et préciser l’ordre dans lequel ils sont classés à l’arrivée. A voir aussi Quel est la loterie la plus chance gagner ? S’ils atteignent les premières places, comme vous l’avez prédit, vous gagnerez votre pari dans l’ordre », sinon vous le gagnerez dans le désordre ». Comment jouer aux PMU avec des terminaux ? Pariez avec un code QR Je prépare mes paris. Je prépare tranquillement mes contributions à l’application point de vente PMU. … Je me présente à la borne ou au guichet. Dans le terminal, j’appuie sur le bouton QR Code à l’écran. … Je vais scanner mon code QR. … Je règle mes paris et encaisse les reçus. Comment jouer aux compétitions PMU ? Le tiercé PMU a lieu tous les jours. Pour cela, il vous suffit de sélectionner vos 3 chevaux en indiquant leur ordre d’arrivée Si les 3 chevaux sélectionnés franchissent la ligne d’arrivée dans l’ordre indiqué lors de leur premier pari, vous remporterez le tiercé gagnant. Sur le même sujet Zone-Turfs dernière minute pour le Quinté d’aujourd’hui n°11 Super Super Sonic Quinté PMU – PREMIO QUERIDO II Prédiction 5 mars 2021 Quinté + du samedi 20 février 2021 à Cagnes-sur-Mer les prévisions Les top chances du jeudi 30 septembre 2021 Cinquième. Le Prix de Pierrefitte-sur-Seine à Enghien ce vendredi 19 mars 2021. © Dans le cas d’un Quinté+, les cinq premiers chevaux du concours doivent être trouvés. C’est le pari le plus réussi car il offre les gains les plus élevés. Sur le même sujet Comment comprendre la valeur handicap d’un cheval ? Cela amène le porcelet hebdomadaire dans le jeu, qui est distribué à tous les parieurs qui ont trouvé les cinq premiers chevaux dans l’ordre exact. Comment jouer au Quinté Plus SpOti ? Quinté SPOT Formule Mixte Dans votre pronostic, vous sélectionnerez les 4 meilleurs chevaux que vous terminerez à l’arrivée. Vous placez vos favoris 7e et 5e en 1er et 2e, puis deux outsiders, 10e et 12e, 4e et 5e. Mais vous ne savez pas à quel concurrent donner la 3ème place. Comment gagner des quintettes ? Tout ce que vous avez à faire pour augmenter vos chances de gagner est d’augmenter votre couverture, c’est-à-dire de parier sur plus de coureurs que le nombre minimum requis dans le pronostic. Lorsque vous pariez sur des jeux simples, sélectionnez plus d’un cheval. Cela vous donnera une meilleure chance de gagner votre pari. © Pour jouer à E-Quarté, retrouvez les quatre premiers chevaux de la compétition. Voir l'article Dernière minute de Zone-Turf pour le Quinté du jour le numéro 9 Georgio Haufor. Compétition E-Quinté uniquement ! Vous pouvez cliquer sur le rapport Ordre, Alarme ou Bonus si vous trouvez un podium de course dans n’importe quel ordre. Comment jouer Quarté Quinté Trifecta ? Le principe de base est simple choisir 3 à 5 chevaux et préciser l’ordre dans lequel ils sont classés à l’arrivée. S’ils atteignent les premières places, comme vous l’avez prédit, vous gagnerez votre pari dans l’ordre », sinon vous le gagnerez dans le désordre ». Comment jouer à Quartet sur un terrain réduit ? Jouer sur un plateau réduit consiste alors à choisir ses propres chevaux à égalité parmi d’autres partants en plus de sa base. Contrairement à tous les coureurs, jouer en pleine couverture implique de miser sur les chevaux et donc de limiter la mise sur l’arrivée de leurs chevaux de base. © Principe de la Technique Gagnante du Carré PMU 9 Cette technique, qui porte un autre nom, est la Technique du Carré Magique. Lire aussi Tiercé. Les pronostics de L’Alsace» pour samedi 4 septembre – Critérium des 5 ans. Elle consiste à diviser un carré en 9 carrés ou à ajouter une ligne égale à 15 sur chaque ligne horizontale ou verticale. Comment choisir les chevaux pour le PMU ? Suivez ces conseils pour choisir une base Au trot comme au plat, essayez d’omettre un gros favori. Non seulement c’est rarement le cas, mais même si vous gagnez, cela ne vous fera aucun bien. Échappez aux chevaux qui n’ont pas de musique régulière. Comment gagner dans les compétitions de plat ? Contenu commercial Nouveaux clients seulement 18+ Ce célèbre jeu de la FDJ existe depuis depuis plus de 40 ans et pourtant, c’est toujours la même question qui hante les nuits de chaque joueur comment décrocher la cagnotte ? Existe-t-il des techniques pour augmenter ses chances de gagner au loto ? Nous avons décrypté pour vous les principaux mythes qui entourent les chiffres du Loto, avant de vous proposer des astuces pour optimiser vos probabilités de gain en effet, 100% des gagnants ont tenté leur chance, alors pourquoi pas vous ? SommaireGagner au loto Astuces pour décrocher le jackpot La vérité sur les statistiques et martingales Obtenir les statistiques du loto Se méfier des arnaques sur Internet Des méthodes 100% fiables ? Gagnez au Loto en faisant une grille multiple Participez au 2d tirage pour gagner au Loto Joker+ gagnez un bonus même si votre grille est perdante Ne manquez aucun tirage avec les abonnements Loto FDJ Améliorer vos chances de gagner au Loto avec les packs multi-chances Les stats qui vous aideront à gagner au Loto Inscrivez-vous sur le site de la FDJ pour espérer gagner au Loto Tentez votre chance au Loto Instant et empochez jusqu’à 100 000 € Gagner au loto Astuces pour décrocher le jackpot Mélanger les chiffres pairs et impairs. Choisir autant de petits que de grands chiffres. Moins de chiffres = Plus de chances de gagner au loto. Cocher les chiffres les moins communs. Jouer en groupe. Choisir des numéros qui se suivent La vérité sur les statistiques et martingales L’une des règles les plus importantes lorsque l’on tente de gagner au loto est de se méfier des méthodes infaillibles pour remporter le jackpot ! Elles ne fonctionnent pas. N’oubliez pas que le loto, comme toutes les loteries, est un jeu de hasard. Etudier les statistiques et essayer de mettre en place des martingales vous intéressera et vous amusera peut-être, mais ne vous permettra pas de savoir comment gagner au loto ! Obtenir les statistiques du loto Le site de la FDJ propose de nombreux outils qui plairont sans doute aux fans des statistiques vous avez en effet la possibilité de savoir combien de boules ont été tirées depuis 2008, mais également la date de leur dernière sortie, leur fréquence d’apparition… Ceci est valable pour les numéros classiques de 1 à 49 comme pour les Numéros Chance de 1 à 10, et également pour l’Euromillions. Vous pouvez également configurer vos propres tirages, et savoir combien de fois ils ont été gagnants, avec les sommes associées par exemple, le tirage 5-22-24-30-41-46 numéro chance 8 a permis de gagner 169 fois depuis octobre 2008, pour une somme maximale de 64 €. Certains sites se sont même spécialisés dans l’analyse de ses données qu’ils brassent par exemple avec Excel, et fournissent des informations supplémentaires, parmi lesquelles Forme du moment nombre de fois où un numéro est sorti lors des 10 derniers tirages Ecart le plus favorable nombre moyen de tirages pour qu’un numéro sorte de nouveau Numéro annonciateur statistique qui fournit le chiffre le plus souvent tiré au tirage suivant celui que vous avez sélectionné. Se méfier des arnaques sur Internet Faire la promotion d’une méthode pour gagner au loto, c’est déjà prouver son inefficacité. Ces statistiques vous permettent-elles de gagner au loto ? Non. A quoi servent-elles alors ? A rien. Si ce n’est à profiter de la crédulité de certaines personnes. Un pendule n’est ni plus ni moins efficace que celles-ci. En effet, il est possible de déduire ce qu’on veut des chiffres par exemple, si la boule numéro 8 n’est pas sortie depuis 12 tirages, que pouvez-vous en déduire ? Qu’elle est froide », et donc ne risque pas d’être sélectionnée de sitôt, ou au contraire, que son tour va venir ? Inutile de vous creuser la cervelle, aucune de ces théories n’est valable. Les tirages sont tous indépendants, et la probabilité d’apparition de n’importe quelle boule est la même d’une semaine sur l’autre. Ainsi, les sites qui vous proposent des martingales ou des logiciels pour gagner au loto ont une crédibilité proche du néant si ces techniques étaient réellement efficaces, leurs concepteurs se garderaient bien de les diffuser afin de gagner des cagnottes mirobolantes. Des méthodes 100% fiables ? Pour gagner au Loto à coup sûr Rien de compliqué pour être certain à 100% de remporter la cagnotte, il faut cocher toutes les combinaisons possibles ! Une méthode bien plus efficace que chercher à gagner au loto avec un pendule ! Voyons ce que cela implique dans les faits, pour la formule actuelle du Loto FDJ Un tirage est composé de 5 boules numérotées de 1 à 49, ainsi que d’une boule chance, de 1 à 10 un rapide calcul que nous vous épargnons ici nous apprend que cela correspond exactement à grilles. En dépensant 1€ par grille, vous allez devoir faire une petite visite chez votre banquier et négocier un relèvement du plafond de découvert autorisé… Au passage, inutile de jouer autre chose que les super cagnottes d’au moins 20 millions d’euros, sinon vous seriez perdant même en ayant gagné ! Et encore, même dans ce cas, vous serez à la merci d’un coup de chance d’un joueur lambda, qui aura osé trouver la combinaison gagnante sur un coup de pot, et avec qui vous devrez partager vos gains. Vous risquez de mal le vivre. Pour le côté pratique en imaginant qu’il vous faille 5 secondes pour valider une grille avec de l’entraînement, c’est jouable, il vous faudra 1103 jours pour finir le boulot. Bon, cela représente à coup sûr un peu plus de 3 ans à moins que la FDJ ne se décide à annoncer une super cagnotte pour le vendredi 13 août 2024, vous pouvez abandonner l’idée… POUR JOUER UN SYSTÈME RÉDUCTEUR LOTO Choisissez le nombre de numéros à jouer. … Indiquez le nombre de numéros de base. … Choisissez la garantie du système. 4/5 – 2 grilles. 4/4 – 5 grilles. 3/4 – 2 grilles. 3/3 – 4 grilles. Sélectionnez vos numéros dans la grille. Sélectionnez votre numéro N° Chance. Cliquez sur Générer le système » Pour bénéficier de gains plus importants Comme tous les tirages ont autant de chances de sortir, il vous suffit de cocher les numéros les moins joués pour augmenter vos chances de décrocher une cagnotte record du Loto sans avoir à la partager. Voici quelques petites astuces pour éviter de jouer comme les autres » Ne choisissez pas uniquement des numéros compris entre 1 et 31 beaucoup de gens sélectionnent leur jour de naissance et celui de leurs proches, ces nombres sont donc surreprésentés. De même, évitez les chiffres 1, 9 et 19, qui correspondent au début des années de naissance de la quasi-totalité de nos contemporains de 14 à 114 ans, en tout cas. Cependant, de plus en plus de joueurs optent pour le tirage flash », qui attribue vos numéros aléatoirement il devient donc moins utile de vous creuser la cervelle pour cocher vos cases. Toutefois, tant que certains participants auront à coeur de sélectionner la date de naissance de leur petit dernier ou l’anniversaire de leur mariage, suivez nos conseils ! Pour augmenter vos chances de gagner au Loto Optez pour une astuce qui a fait ses preuves pour voir ses chances de gagner au loto grimper jouez à plusieurs ! Certes, vos gains seront à tous les coups partagés en cas de victoire, mais mieux vaut gagner un peu d’argent que de voir une grosse somme vous passer sous le nez ! La FDJ autorise sans problème les groupements de joueurs il suffit pour cela de remplir le formulaire de paiement d’un gros lot collectif, qui permet de répartir la somme gagnée entre différentes personnes, sans pour autant payer d’impôt. En effet, soyez prudent en France, les dons de grosses sommes d’argent sont soumis à une taxation importante, surtout si le bénéficiaire n’est pas un membre de votre famille. De plus, ne tentez votre chance qu’avec des individus en qui vous avez une totale confiance de nombreux témoignages attestent que jouer groupé au loto, c’est risqué… Gagnez au Loto en faisant une grille multiple Pour valider votre grille, vous devrez choisir 5 numéros + 1 numéro chance. Mais il est possible de faire une grille avec plus de 5 numéros. Cela aura 2 effets La grille coûtera plus cher MAIS vous augmenterez vos chances de gagner. Vous pouvez cocher jusqu’à 9 numéros +1 chance. Si vous privilégiez les numéros chance, il est possible de combiner 5 ou 6 numéros simples avec 10 numéros chance. Le coût de la grille varie avec le nombre de numéros que vous choisissez. Il peut atteindre 369,60 € avec 7 numéros + 8 numéros chance, ou bien 8 numéros + 3 numéros chance. Participez au 2d tirage pour gagner au Loto Le second tirage est une option que vous pouvez activer pour 0,80 € seulement si vous avez coché 5 numéros sur votre grille. À la suite du tirage principal, un deuxième de 5 numéros sera effectué. Si vous les avez tous sur votre grille principale, vous empocherez 100 000 €. Ce jeu additionnel est gagnant à partir de 2 bons numéros. Le cas échéant, vous remportez 3 €, c’est-à-dire que vous remboursez à la fois votre partie de Loto et le 2d tirage. Joker+ gagnez un bonus même si votre grille est perdante Le Joker + est une option qui est disponible pour 1 € ou 2 € au choix. Elle consiste en un tirage additionnel de 7 numéros. Vous avez les 7 ? Empochez donc jusqu’à 500 000 €. Pour avoir plus de chance de remporter un lot, la FDJ vous propose l’option +1 ou -1 ». Si vous l’activez, on ajoutera ou on enlèvera 1 à l’un de vos numéros afin que vous ayez une combinaison gagnante. L’activation du +1 ou -1 » doublera le coût de la participation au Joker+. Ne manquez aucun tirage avec les abonnements Loto FDJ Au Loto, il y a 3 tirages par semaine le lundi, mercredi et samedi. Dans le cas vous jouez toujours la même grille à intervalle régulier, une formule d’abonnement vous sera utile vous ne manquerez ainsi aucun tirage et vous augmenterez vos chances de remporter le jackpot. Grâce à cette formule, vous pourrez choisir de participer à 1, 2 ou 3 tirages. Avec ABO+, c’est encore plus simple vous participez à tous les tirages de la semaine. Six jours avant chaque tirage, votre compte sera débité du montant de la grille. Vous pouvez résilier votre abonnement à tout moment. Améliorer vos chances de gagner au Loto avec les packs multi-chances Les packs multi-chances vous permettent d’investir dans un groupe de 100 ou 600 grilles. Au lieu d’en remplir une seule et de la valider, vous achetez des parts dans un pack et vous empochez un gain au prorata de l’argent engagé. Il existe 2 types de packs 100 grilles +100 codes achetez entre 1 et 10 parts à 4,40 € l’unité 600 grilles +600 codes achetez entre 1 et 10 parts pour 6,60 € l’unité Une fois le pack vendu, le tirage aura lieu. Sur l’ensemble des grilles gagnantes, vous empocherez une somme proportionnelle à votre investissement de départ. Les packs sont un bon moyen de gagner au Loto sans remplir manuellement son ticket. En plus, étant donné qu’entre 100 et 600 grilles à chaque tirage et que les gains s’accumulent, vous pourrez potentiellement en retirer de très gros bénéfices. Les stats qui vous aideront à gagner au Loto S’il n’est pas possible de connaître à l’avance les résultats du prochain tirage, il est facile d’accéder aux statistiques des tirages précédents. Voici quelques tendances à repérer qui peuvent vous être utiles. Réussite d’un numéro combien de fois est-il sorti ? Il s’agit du nombre de fois qu’un numéro est sorti. En règle générale, un numéro est tiré un certain nombre de fois dans l’année. Si la réussite est en deçà de la moyenne et que l’on est au mois de décembre par exemple, ce numéro pourrait être gagnant sous peu. Forme combien de fois le numéro a-t-il été gagnant récemment ? La forme caractérise le nombre de fois qu’un numéro est sorti lors des 10 derniers récente ou 70 derniers tirages générale. Veuillez noter que le nombre de tirages à partir duquel est calculée la forme peut varier selon les sites. Écart depuis quand un numéro n’est-il pas tombé ? L’écart actuel est un nombre qui indique depuis combien de tirages un numéro n’est pas tombé. Il en existe en réalité d’autres types Maximum nombre de tirages maximum entre 2 apparitions d’un numéro. Le plus favorable écart après lequel le numéro est sorti le plus souvent. Par exemple, s’il est de 30 pour le numéro 14, vous pouvez tenter de miser sur le 14 après qu’il y ait eu 29 tirages depuis la dernière fois où il est sorti. Le moins favorable nombre de tirage après lequel le numéro sort le moins fréquemment. Affinité quel numéro sort le plus souvent avec celui qui vous intéresse ? Statistiques intéressantes qui vous permettent de repérer les paires de numéros. L’affinité caractérise le numéro qui est sorti le plus souvent en compagnie de celui que vous analysez. Attention tout de même, l’affinité ne vous donne aucune idée de la fréquence. Avant de faire votre choix, allez comparer les réussites des deux numéros. Inscrivez-vous sur le site de la FDJ pour espérer gagner au Loto Pour jouer au Loto, c’est très simple il suffit d’ouvrir un compte. Voici comment faire Rendez-vous sur le site de la Française des jeux en cliquant sur l’un des liens spéciaux de cette page. Dans la partie supérieure droite de votre écran, appuyez sur Créer un compte ». Entrez les renseignements demandés. Dans les 30 jours faites parvenir un justificatif d’identité au service client FDJ afin de faire activer définitivement votre compte. Approvisionnez votre solde via l’un des moyens de paiement pris en charge. Vous êtes prêts à jouer au Loto. Tentez votre chance au Loto Instant et empochez jusqu’à 100 000 € En attendant le prochain tirage, essayez le jeu à gratter Instant Loto pour 2 € seulement, vous pourrez empocher entre 3€ et 100 000€. Allez dans l’onglet Illiko du site ou de l’appli FDJ, puis sélectionnez le jeu. Payez les 2€ de mise et remplissez les 3 grilles. Une fois que vous avez choisi les 5 numéros simples et le numéro chance sur chacune d’entre elles, lancez le tirage. À l’Instant Loto, vous cumulez les gains effectués sur les 3 grilles. Il est possible d’empocher jusqu’à 100 000€. En savoir plus sur le sujet Loto 100% des gagnants ont lu ce dossier Loto les 10 numéros porte-bonheur Quinté du jour Comment jouer et gagner ? Le tapis de roulette se compose de 37 numéros répartis en 3 colonnes de 12 numéros pour les numéros 1 à 36, le zéro étant placé en haut du tapis sur la largeur des 3 chaque côté du tapis se trouvent les "chances simples" qui sont rouge, noir, pair, impair, manque, passe. Au bout du tapis, sous les chances simples se trouvent les "douzaines". Au bout du tapis, sous les numéros, se trouvent les "colonnes". Les différents types de pari possibles sont les suivants Le numéro "en plein". On mise une pièce sur un seul numéro. Le rapport est de 35 fois la mise. Deux numéros "à cheval". On mise une pièce en la plaçant entre deux numéros. Le rapport est de 17 fois la mise. La "transversale". On place une pièce sur une ligne de trois numéros, à l'un des deux bouts de la ligne. Le rapport est de 11 fois la mise. Le carré. On place une pièce au milieu d'un carré de quatre numéros. Le rapport est de 8 fois la mise. Le sizain. On place une pièce à cheval au bout de deux lignes de trois numéros. Le rapport est de 5 fois la mise. La douzaine. On parie sur une des trois douzaines la première qui regroupe les numéros de 1 à 12, la deuxième qui va de 13 à 24 et la troisième qui comprend les numéros 25 à 36. Ces douzaines sont aussi appelées "douze premiers", "douze milieu" et "douze derniers". Le rapport est de 2 fois la mise. Deux douzaines "à cheval". On place une mise à cheval sur deux douzaines, ce que l'on appellera dans un cas les vingt-quatre premiers première et deuxième douzaine et dans l'autre les vingt-quatre derniers deuxième et troisième douzaine. Le rapport est d'1/2 fois la mise. La colonne. C'est le même type de pari que la douzaine puisqu'une colonne couvre douze numéros comme une douzaine mais la répartition est autre la première colonne du tapis comprend les numéros 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...la deuxième colonne couvre les numéros 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...la troisième colonne comprend les numéros 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... . Le rapport est de 2 fois la mise. Deux colonnes "à cheval". On place une mise à cheval sur deux colonnes. Le rapport est d'1/2 fois la mise. Les chances simples. Il s'agit de rouge, qui comprend tous les numéros qui figurent en rouge sur le cylindre, noir, qui comprend les numéros en noir sur le cylindre, pair, ce sont les numéros pairs, impair, les numéros impairs, manque, les numéros de 1 à 18, passe, les numéros de 19 à 36. Le rapport est de 1 fois la mise. Lorsque ci-dessus nous donnons un rapport de X fois la mise cela signifie que le croupier va nous donner X fois notre mise; mais la mise posée ayant engendré le gain reste sur le tapis et on est libre de la laisser jouer pour le tour suivant ou bien de la reprendre. Donc, pour un numéro plein par exemple, si on a posé une pièce et que l'on gagne, on se retrouve avec 36 pièces, 35 distribuées par le croupier et une qui est restée sur le tapis Le cas du zéro Le zéro. Le zéro peut être joué en plein comme n'importe quel autre numéro. Il rapporte comme eux 35 fois la mise. On peut jouer également les chevaux 0/1, 0/2, 0/3 ... Le rapport est de 17 fois la mise, comme pour tout couple de numéros "à cheval". Nous pouvons aussi jouer les "quatre premiers" qui incluent les numéros 0, 1, 2, 3 en plaçant une pièce à cheval sur le zéro et la première transversale. Le rapport pour les "quatre premiers" est de 8 fois la mise, comme pour un carré. Il est également possible de jouer le 0/1/2 et le 0/2/3 en plaçant une pièce à leur intersection. Le rapport est de 11 fois la mise. comme pour une transversale de 3 numéros. Concernant l'incidence de la sortie du zéro sur tous les paris Pour tous les paris sur des pleins, des chevaux, transversales, carrés ou sizains, les paris sont perdants lors de la sortie du zéro sauf bien sûr si le pari en question comprend le zéro par exemple le zéro en plein, le cheval 0/1 ou les quatre premiers.Rend les douzaines perdantes puisque aucune d'entre elles ne comprend le zéro. Idem pour les sujet des paris placés sur les chances simples, la sortie du zéro entraîne un cas particulier que nous allons illustrer par un exempleOn mise sur rouge. Le zéro sort. On dit alors que la mise sur rouge est "enfermée". En pratique, le croupier va pousser notre mise sur la ligne extérieure placée au bout des chances simples. Au coup suivant, si le rouge sort, notre mise est "libérée", cela signifie que la croupier va remettre notre mise en jeu sur la tapis à sa position d'origine si par la suite rouge sort, on gagne, si noir sort, on perd. Si le noir sort, notre mise est perdue lorsqu'une mise est enfermée, on peut soit la laisser enfermée et attendre l'issue au tour suivant, soit réclamer au croupier la moitié de notre mise c'est pour cela que les chances simples sont plus avantageuses que les autres chances, voir notre rubrique "trucs et astuces". Modifié le jeudi 18 juin 2009

gagner au pmu technique du carré de 9